La multiplication

I. Produit de deux nombres.

1. Produit de deux nombres entiers. — Additionnons quatre nombres égaux à 7.
   7 + 7 + 7 + 7 = 28.
   On dit : 4 fois 7 = 28. On écrit : 7 × 4 = 28.
   28 est le produit de 7 par 4. 7 et 4 sont les facteurs du produit.
   Le premier facteur 7 se nomme multiplicande et le deuxième facteur 4, multiplicateur.
   Le produit de 7 par 4 étant la somme de 4 termes égaux à 7, on peut dire :
   Le produit d’un nombre par un autre nombre est la somme d’autant de termes égaux au multiplicande qu’il y a d’unités au multiplicateur.
   Calculer le produit 7 × 4, c’est faire une opération arithmétique appelée multiplication.

2. Produit de deux nombres décimaux. — Soit à multiplier 545 par 2,5.
   Il faut ajouter 2 fois, puis 5 dixièmes de fois, le multiplicande 545. Ce qui revient à ajouter 25 dixièmes de fois 545.
   1 dixième vaut 54,5 ; 25 dixièmes valent 54,5 + 54,5 + 54,5 + ... (répétés 25 fois).
   Le produit de 545 par 2,5 est les 25 dixièmes de 545.

3. Produit de plusieurs facteurs. — Répétons 5 fois 4, nous avons le produit 4 × 5.
   Répétons 2 fois ce premier produit, nous avons : 4 × 5 × 2.
   4 × 5 × 2 est un produit de plusieurs facteurs.
   On appelle produit de plusieurs facteurs, le nombre obtenu en multipliant le 1er par le 2e, le résultat obtenu par le 3e et ainsi de suite.

II. Produits de grandeurs.

1. Produit d’une grandeur par un nombre. — Supposons que l’on veuille clôturer trois jardins identiques.
   La longueur totale du grillage est égale à la somme des trois longueurs séparées.
   On dit qu’elle est égale à la longueur d’un grillage multipliée par 3 : L = l + l + l = l × 3.
   Le produit d’une grandeur par un nombre n, c’est la somme de n fois cette grandeur.
   Pour calculer la longueur totale du grillage, on mesure la longueur du périmètre d’un jardin et l’on multiplie le nombre obtenu par 3.
   Pour mesurer le produit d’une grandeur par un nombre, on mesure cette grandeur et l’on multiplie le résultat obtenu par ce nombre.

2. Produit d’une grandeur par une grandeur. — Soit à mesurer la surface d’un rectangle.
   La géométrie apprend que le nombre qui mesure la surface du rectangle est égal au produit du nombre qui mesure la longueur par celui qui mesure la largeur.

3. Conclusion. — La mesure du produit d’une grandeur par un nombre ou par une grandeur se ramène à une multiplication de deux nombres abstraits, c’est-à-dire à un calcul arithmétique.

III. Théorie de la multiplication de deux nombres entiers.
La multiplication est l’opération arithmétique qui a pour but de trouver le produit de deux nombres donnés.

1er Cas : Les deux facteurs n’ont qu’un seul chiffre.
Les enfants apprennent par cœur la table de multiplication.
Pythagore, mathématicien grec (569–470 av. J.-C.), a établi une table (dite de Pythagore) permettant d’obtenir les produits de deux nombres d’un seul chiffre.
La première ligne est faite des 9 premiers nombres.
La deuxième ligne est obtenue en ajoutant les premiers nombres à eux-mêmes.
Les autres lignes en ajoutant les nombres de la ligne précédente à ceux de la première.
Un produit, 4 × 3, par exemple, se trouve à la rencontre des colonnes horizontale et verticale ayant pour chiffres de départ 4 et 3.

2e Cas : Le multiplicande a plusieurs chiffres, mais le multiplicateur n’en a qu’un.
— Soit à multiplier 231 par 5.
Le produit se compose de 5 fois 1 unité, puis de 5 fois 3 dizaines, puis 5 fois 2 centaines.
Posons l’opération comme suit, en plaçant le multiplicateur sous les unités du multiplicande : 231 × 5 = 1 155.

Comptons :
5 fois 1 unité font 5 unités. Écrivons 5.
5 fois 3 dizaines font 15 dizaines ou 5 dizaines et 1 centaine. Écrivons 5 à la place des dizaines et souvenons-nous que nous avons en plus 1 centaine.
5 fois 2 centaines font 10 centaines auxquelles nous ajoutons la centaine précédente. Ce qui nous fait 11 centaines. Écrivons 11 et avançons l’autre 1.

Règle. — On écrit le multiplicateur sous le chiffre des unités du multiplicande.
On multiplie successivement les unités, les dizaines, les centaines du multiplicande par le multiplicateur.
Si le produit est inférieur à 10, on l’écrit tel quel. S’il est supérieur à 10, on écrit seulement les unités et l’on reporte les dizaines au produit suivant.
Le dernier produit, augmenté, s’il y a lieu, d’un report, s’écrit tel quel.

3e Cas : Le multiplicateur est formé d’un chiffre significatif suivi de zéros.
— Soit : 346 × 20.
Multiplions 346 par 2.
346 × 2 = 692.
Multiplier 346 par 2, c’est faire une addition de 2 nombres égaux à 346.
Ce n’est pas une addition de 2 nombres égaux à 346 qu’il faut faire, mais bien une addition de 20 nombres.
Puisqu’il y a 10 fois plus de termes, le résultat sera donc 10 fois plus grand.
692 × 10 = 6 920.

Règle. — Pour multiplier un nombre par un chiffre significatif suivi de zéros, on le multiplie par ce chiffre significatif et l’on ajoute à la droite du produit autant de zéros qu’il y en avait à la droite du chiffre significatif du multiplicateur.

4e Cas : Les deux facteurs ont plusieurs chiffres.
— Soit à multiplier 1 346 par 234.
Il faut répéter 234 fois le nombre 1 346.
Répétons-le :
4 fois : 1 346 × 4 = 5 384
30 fois : 1 346 × 30 = 40 380
200 fois : 1 346 × 200 = 269 200
Total : 314 964

Dans la pratique on dispose l’opération de façon que chaque produit partiel se trouve à la même distance du chiffre du multiplicateur qui a servi à le former.
On place le zéro à droite des produits partiels, ou bien on les décale vers la gauche pour que chaque produit partiel se trouve sous le chiffre du multiplicateur correspondant.

Règle. — On écrit le multiplicande et le multiplicateur l’un sous l’autre, en commençant par le chiffre des unités du multiplicateur.
On multiplie ensuite par ce chiffre les unités, dizaines et centaines du multiplicande, en observant la règle expliquée plus haut.
On fait de même pour les autres chiffres du multiplicateur, en plaçant l’un sous l’autre les produits partiels dans l’ordre des chiffres du multiplicateur qui ont servi à les former.
On additionne ensuite les produits partiels.

IV. Remarques.

Le multiplicateur a des zéros intercalés.
On voit que l’on peut ne pas effectuer le produit partiel correspondant au multiplicateur 0. Il suffit de respecter la règle générale qui indique que l’on place le premier chiffre à droite de chaque produit partiel sous le chiffre correspondant du multiplicateur.

Les deux facteurs sont terminés par des zéros.
On a : 125 × 3 = 375.
Si le multiplicateur est 30, on a (3e cas) : 125 × 30 = 3 750.
Si le multiplicande est 12 500, c’est-à-dire 125 centaines, le produit devient : 12 500 × 30 = 3 750 centaines ou 375 000.
Il contient alors autant de zéros à sa droite qu’il y en a dans les deux facteurs.
Pour multiplier deux facteurs suivis de zéros, on fait le produit des nombres dépouillés de leurs zéros et l'on ajoute au produit autant de zéros qu’il y en a dans les deux facteurs.

V. Multiplication des nombres décimaux.

1er Cas : Le multiplicateur seul est décimal.
— Soit à multiplier 12,43 par 5.
Cela revient à multiplier 1 243 centièmes par 5.
On a : 1,243 × 5 = 6,215.
Ce qui donne : 62,15 centièmes, ou 0,6215.
On multiplie le nombre sans tenir compte de la virgule, puis on sépare à la droite du produit autant de chiffres décimaux qu’il y en avait au multiplicande.

2e Cas : Les deux facteurs sont décimaux.
— Soit 7,62 à multiplier par 1,4.
1 dixième de 7,62 vaut 0,762.
14 dixièmes valent : 0,762 × 14 = 10,668.
Remarquons qu’on a multiplié 762 par 14 et que l’on a séparé 3 chiffres décimaux à la droite du produit.
On multiplie les deux nombres dépourvus de leur virgule : on sépare à la droite du produit autant de chiffres décimaux qu’il y en avait dans les deux nombres.